2D 傅里叶变换

二维傅里叶变换的数学表达式

$$\mathcal{F}[f(x,y)]=\iint f(x,y) e^{-i (\vec{k} \cdot \vec{r} )} , \quad \vec{k} = \left\{\frac{2\pi}{\lambda_x}, \frac{2\pi}{\lambda_y} \right\}$$

Here, the notation $\text{d}\vec{r}$ is the shorthand of $\text{d}x \text{d}y$. If we use spatial frequency $(u,v)$ instead of wave vector $k$, the Fourier Transformation can be written as follow:

$$\mathcal{F}[f(x,y)] = \iint f(x,y) e ^{ -2 \pi i (ux + vy) } dxdy$$

关于空间频率:
我们知道, 在时间域上存在着 频率(frequency)这个量. 而在空间中, 也存在着空间频率. 但是时间频率是没有方向性的, 但是空间频率却存在方向. 假使波传播的方向是 $\mathbf{k}_0$, 那么空间频率可以表示成矢量 $\mathbf{k}_0 \frac{1}{\lambda}$. 将其沿坐标轴投影便可以得到 x, y, z 方向的空间频率 $\{u, v, w \}$.

一维的傅里叶变换是以正弦函数作为基底对f(x,y)进行展开；而二维的傅里叶变换就是以平面正弦波对函数进行展开.（在光学中，我们知道$e ^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}$表示一个沿 x 方向传播的平面正弦波，其相位因子中跟空间相关的部分$e^{j(\mathbf{k\cdot r})}$就表示在时刻 t 平面正弦波的振幅在空间中的分布。)

函数可以用狄拉克delta函数展开，即

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d\tau$$

也就是说，delta函数也是一组完备的基矢。从线性变换的角度来看，我对f(x,y)进行的线性变化是既可以看成对f(x,y)的变换（主动变换视角）、也可以看成是对基矢量的变换（被动变换视角）。因此delta函数的傅里叶变换有必要计算一下。只要知道delta函数的傅里叶变换，我们就可以用 $\mathcal{F}[\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)]$ 叠加出f(x,y)的傅里叶变换。根据delta函数挑选性质，得到

$$\mathcal{F}[\delta(x)\delta(y) = 1$$

$$\mathcal{F}[\delta(x,y-a) + \delta(x,y+a)] = e ^{ -2\pi i av } + e ^{ 2\pi i av } = 2 \cos (2 \pi a v)$$

下图为 $\delta(x-a)\delta(y-b)$ 的FT.

卷积

卷积的形式为：

$$(f*g)(t) = \int f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$

函数内积的形式为（实数域内）：

$$(f,g)= \int f(t) \cdot g(t) dt$$

而 $g(t-\tau)= g(-(\tau-t))$ 其实就是 $g(\tau)$ 以 $y$ 轴为对称轴反转过后再向右移动了 $t$ 个单位。 $t$ 不同， $(f*g)$ 的值就不同。

所以说，卷积就是，给 f 在 不同的 t 处的振幅一个权重（响应），然后求加权平均数（积分）。这里的 g 就可以看成一个频率响应函数。

傅里叶变换里学到过，

$$\mathcal{F}[f*g] = \mathcal{F(f)}\mathcal{F(g)}$$

也就是说，时域上的卷积等价于频域上的直接相乘。因此 g 可以看成是一个用来调制 f 的振幅的函数。这个 g 可以是高斯分布函数，也可以是低通、高通、带通滤波函数，等等。

傅里叶变换的作用

二维傅里叶变换一般是用来处理图像的。比如，夫琅和费衍射就是对光的分布函数进行了一次傅里叶变换。数字全息技术利用的是光的衍射，所以也可以用傅里叶变换来实现。

此外，傅里叶变换加卷积还可以对图像进行去噪。如一个图像中存在周期性的结构，那么其傅里叶变换肯定会在这些周期性结构处产生。这个时候，只要把傅里叶变换后的图片中的这些极大值去掉，然后再进行傅里叶逆变换，就可以得到很干净的图片，下面是一个例子：

此外，还可以对图像进行复合。比如我有两张照片，一张照片里面是天空，另一张照片中是一只大大的鸟。我想要把天空那张照片的色彩应用到这只鸟的身上，并且保持鸟的轮廓还能被人辨识。我们知道，物体轮廓处的色彩变化往往很明显，也就是说，轮廓处的色彩近似于一个阶跃函数，阶跃函数的傅里叶变换中是有着很多高次谐波的；而没有轮廓的地方亮度往往是渐变的，所以主要是低次谐波。所以，我们只需要将第一张照片傅里叶变换之后乘以一个低通滤波函数、第二张照片傅里叶变换后乘以一个高通滤波函数，然后将俩图重叠就可以了。

文中的大部分知识和所有的两张图片均来源于Oxford一位老师的slide。