电磁场基础知识

TOC：

  • 真空中的电磁场
    • 库伦定律 -> 电场的散度
    • 电磁感应 -> 电场的旋度
    • 毕奥-萨伐尔定律 -> 磁场的散度与旋度
    • 磁场的散度
    • 磁场的旋度
  • 介质中的电磁场
    • 介质中的电场 - 极化
    • 线性均匀介质，极化的规律
    • 电位移矢量的引入
    • 介质中的磁场
    • 磁场强度矢量的引入
  • Summary - 介质中的 Maxwell 方程
  • 多极展开
    • 电势 VV 的多极展开
    • 矢势 A⃗\vec{A} 的多极展开

符号约定：凡是激发电场/磁场的源的坐标统一用 r′\boldsymbol{r'}表示，是为源点；凡是我们要计算电/磁场的位置的坐标统一用 r\boldsymbol{r} 表示，是为场点；从源点(比如所点电荷)指向场点的方向矢量记作 ι\boldsymbol{\boldsymbol{\iota}} , ι≡r−r′\boldsymbol{\iota}\equiv\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} . 单位矢量用戴帽子的符号如 n^,r^\hat{n},\hat{r} 表示。

路径积分的路径用 PP (path) 表示, 体积分的积分区域用 VV (volume) 表示； 线元用 dl\mathrm{d}\boldsymbol{l} , 面积微元用 da\mathrm{d}\boldsymbol{a} (area), 体积微元用 dτ\mathrm{d}\tau.

真空中的电磁场

库伦定律 - 电场的散度

静电场就是静止的电荷所产生的场。这里没有讲明是相对于哪一个坐标系，所以就是默认对于任何一个惯性参考系静止。一个静止点电荷的场的电场图像就是一条条静止的电场线。静电场
的基本原理是库伦定律，由实验得到。即对于一个真空中的点电荷 Q, 在距离其ι\boldsymbol{\iota} 处的弱小试探电荷 q 感受到的力为

F⃗=14πϵ0Qqι2ι^\vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qq}{\iota^2}\hat{\iota}\\

此处，用 ι\boldsymbol{\iota} 表示从点电荷所在位置 r′\boldsymbol{r'} 指向 q 所在位置 r\boldsymbol{r} 的矢量。r′\boldsymbol{r'} 叫做
源点(source point)，r\boldsymbol{r} 叫做场点(field point).ι^≡ι/ι\hat{\iota}\equiv \boldsymbol{\iota}/\iota 是单位矢量。
电场定义为单位试探电荷所感受到的力，

F⃗≡14πϵ0Qι2ι^\vec{F}\equiv\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\iota^2}\hat{\iota}\\

后面可以推导出来，在介电常数ϵ\epsilon 时，F=14πϵQ/ι2F=\frac{1}{4\pi\epsilon}Q/\iota^2. 其实对所有电磁学的方程式， ϵ0,μ0\epsilon_0, \mu_0 都可以替换成 ϵ,μ\epsilon,\mu.这个在理论建立的时候就已经设计好了。

库伦定律是高斯定律的实验基础，即电场通过某一个闭合曲面的通量等于曲面内的净电荷（不论是自由电荷还是束缚电荷）除以介电常数. i.e.

Q=∫Vρ(r′)dτ′∮SE⋅da=Q/ϵQ=\int_V \rho(\boldsymbol{r'})d\tau' \\ \oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{a}=Q/\epsilon \\

这里，SS 是 VV 的边界；通常简单记作 S=∂VS=\partial V .利用数学中的高斯定律，就可以推导出上式的微分形式。

∇⋅E=ρ/ϵ0\begin{equation} \nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho/\epsilon_0\\ \end{equation}

电磁感应 - 电场的旋度

法拉第电磁感应定律是麦克斯为方程组第二个的实验基础：

∮PE⋅dl=−∂Φ∂t\oint_P \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}= -\frac{\partial \Phi}{\partial t}\\

应用Stokes定律便得到

∇×E=−∂B∂t\begin{equation} \nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\\ \end{equation}\\

毕奥-萨伐尔定律 - 电场的散度与旋度

Biot-Savart 定律: 分布在体积 VV 上的稳恒电流产生的磁场为

B=μ04π∫VJ(r′)×ιι2dτ′\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})\times\boldsymbol{\boldsymbol{\iota}}}{\iota^2}d\tau'\\

所谓稳恒(steady)电流，就是指电流强度不随着时间改变的电流。所以, at any time, steady current satisfies the two
conditions below:

∂ρ∂t=0∂J∂t=0\begin{align*} \frac{\partial \rho}{\partial t}&=0\\ \frac{\partial \boldsymbol{J}}{\partial t}&=0\\ \end{align*}\\

所以 steady current 必定是一个闭合的电流(不然，散度在边界处就是一个跳跃）。可以注意到，在电场里面的14πϵ\frac{1}{4\pi\epsilon} 到磁场里面就变成了 μ4π\frac{\mu}{4\pi} . 这个记住挺方便的。

磁场的散度

B-S 定律可以用来求出关于磁场的两个Maxwell方程组。计算过程中需要用到下面两个结论：

∇(1ι)=−ι^ι2∇⋅ι^ι2=4πδ(ι), ι=(x−x′,y−y′,z−z′) \nabla \left( \frac{1}{\iota} \right) = -\frac{\hat{\iota}}{\iota^2} \\ \nabla\cdot\frac{\hat{\iota}}{\iota^2}=4\pi\delta(\boldsymbol{\iota}), \ \boldsymbol{\iota}=(x-x',y-y',z-z')\\

这样，就可以计算

B=μ04π∫J(r′)×ι^ι2dτ′=−μ04π∫[J(r′)×(∇1ι)]dτ′=μ04π∫∇×(J(r′)/ι)dτ′⇒B=∇×[μ04π∫J(r′)ιdτ′]=∇×A\begin{align*} \boldsymbol{B} &= \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'}) \times\hat{\iota}}{\iota^2}d\tau' \\ &= -\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})\times (\nabla \frac{1}{\iota})\right]d\tau' \\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla\times \left( \boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})/\iota \right)d\tau' \\ \Rightarrow\boldsymbol{B}&=\nabla\times \left[ \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})}{\iota} d\tau'\right]\\ &=\nabla\times\boldsymbol{A}\\ \end{align*}\\

这里， A\boldsymbol{A} 定义为磁矢势. 因为旋度场无源，所以磁场的散度始终为0. 故而得到以下结论：

A≡μ04π∫VJ(r′)ιdτ′B=∇×A∇⋅B≡0\begin{align} \boldsymbol{A}&\equiv\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})}{\iota}\mathrm{d}\tau'\\ \boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A} \\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}&\equiv 0 \\ \end{align}\\

即便是在交变电流的情形下，磁场依旧是一个无源场；这就意味着没有所谓的“磁单极子”，只有磁偶极子、磁四极子。Dirac 晚年曾致力于寻找磁单极子，但是没有结果。就我们而言，就放心的认为没有磁单极子吧。

磁场的旋度

下面推导 B\boldsymbol{B} 的旋度。

∇×B⃗=∇×(∇×A⃗)=∇⋅(∇⋅A⃗)−∇2A⃗\begin{align*} \nabla\times\vec{B}&=\nabla\times(\nabla\times\vec{A})\\ &=\nabla\cdot(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A}\\ \end{align*}\\

不妨选取适当的 A⃗,\vec{A}, 使得 ∇⋅A⃗=0\nabla\cdot\vec{A}=0. > 这是可以做到的。因为 ∇×(A⃗+∇u)=∇×A⃗\nabla\times(\vec{A}+\nabla u)=\nabla\times\vec{A}, 所以 A⃗\vec{A} 可以加上任何一个标量场的梯度而同时满足 ∇×A⃗=B⃗\nabla\times\vec{A}=\vec{B}. 那么 ∇⋅(A⃗+∇u)=∇⋅A⃗+∇2u\nabla\cdot(\vec{A}+\nabla u)=\nabla\cdot\vec{A}+\nabla^2u. 因此，总可以找到一个 uu，使得 ∇⋅A⃗=0\nabla\cdot\vec{A}=0 .

如此便可以得到

∇2A⃗=μ04π∫VJ⃗(r′⃗)ιdτ′=μ04π∫VJ⃗(r′⃗)∇⋅(∇1ι)=−μ04π∫VJ⃗∇⋅(ι^/ι2)dτ′=−μ04π∫VJ⃗(r′⃗)4πδ(r⃗−r′⃗)dτ′=−μ0J⃗(r⃗)\begin{align*} \nabla^2\vec{A} &=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}(\vec{r'})}{\iota}d\tau'\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\vec{J}(\vec{r'})\nabla\cdot(\nabla \frac{1}{\iota}) \\ &= -\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\vec{J}\nabla\cdot(\hat{\iota}/\iota^2)d\tau'\\ &= -\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\vec{J}(\vec{r'})4\pi\delta(\vec{r}-\vec{r'}) d\tau'\\ &=-\mu_0\vec{J}(\vec{r}) \\ \end{align*}\\

所以，

∇×B(r)=μ0Jf(r)∇2A(r)=−μ0Jf(r)\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})&=\mu_0\boldsymbol{J}_f(\boldsymbol{r})\\ \nabla^2\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})&=-\mu_0\boldsymbol{J}_f(\boldsymbol{r}) \\ \end{align}\\

注意，这里用的是 B(r),J(r)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}),\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}) 而不是 B(r′)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r'}).
也就是说，在 r\boldsymbol{r} 处的磁场的旋度就等于此处的自由电流密度乘以 μ0\mu_0 .

此外，我还把 J(r)\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}) 加了一个下标，变成了 Jf(r)\boldsymbol{J}_f(\boldsymbol{r}) . 这是由于真空中仅仅存在自由电荷引起的电流而已。实际上，这个 J\boldsymbol{J} 应当是指所有的电流（包括所谓的束缚电流和极化电流，这个在后面会用到）。

位移电流假设

第四个方程在交变情形下是不对的,电荷守恒定律要求

∂ρ∂t+∇⋅Jf=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{J}_f=0\\

在交变电流情形时, ρ\rho 对时间的导数不是0,而 ∇⋅J=∇⋅(∇×B)=0\nabla\cdot\boldsymbol{J}=\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})=0. (定理:旋度场无源). 这里就有矛盾，所以Maxwell引入了位移电流假设来使得这个方程对交变电流也成立.大致的思路如下：

∵∇⋅E=ρ/ϵ0let J=Jf+JD∴∇⋅Jf=−∂∂tϵ0∇⋅Eif JD≡ϵ0∂E∂tthen ∇⋅J=0\begin{align*} &\because \nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho/\epsilon_0 \\ &\text{let }\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_f+\boldsymbol{J}_D\\ &\therefore \nabla\cdot\boldsymbol{J}_f=-\frac{\partial }{\partial t}\epsilon_0\nabla\cdot\boldsymbol{E}\\ &\text{if }\boldsymbol{J}_D\equiv \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\\ &\text{then }\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0\\ \end{align*}\\

因此，如果引入位移电流(Displacement current) JD\boldsymbol{J}_D, 将Maxwell方程改为 ∇×B=μ0J\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J},那么方程就是自洽的。至于对不对，就交给实验证明。实验证明这是对的。

所以，真空时的Maxwell方程组归结如下：

∇⋅E=ρ/ϵ0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0(Jf+JD)\boxed{ \begin{align*} \nabla\cdot\boldsymbol{E}&=\rho/\epsilon_0\\ \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0\\ \nabla\times\boldsymbol{B}&=\mu_0(\boldsymbol{J}_f + \boldsymbol{J}_D)\\ \end{align*}}\\

介质中的电磁场

介质中的电场 - 极化

前面讨论了真空中的电场，那么介质中的电场会有什么不同呢？在这里讨论的“介质”指"dielectric", 差不多等同于绝缘体(insulator).

把一块电介质放进电场中，介质分子会因此发生电极化(polarization)，具体的机理可有：1. 取向极化；即正负电荷中心不重合的分子在电场的作用下其电偶极矩(dipole moment)的取向发生偏转的极化.2. “拉扯”极化；本来正负电中心在一块的，可惜电场太强，把正负电中心给拉扯开了.

不管怎么极化，都是 dipole moment 的取向趋近于一致所造成的。既然里面有这么多dipole moment, 那么不妨定义一个宏观量描述极化的程度 - 极化强度 P\boldsymbol{P}.

P≡单位体积内的电偶极矩=∑pΔV\boldsymbol{P}\equiv \text{单位体积内的电偶极矩}=\frac{\sum \boldsymbol{p}}{\Delta V} \\

那么我天然想计算一下这极化后的材料所发出的场。但是这一大块我也不好计算，不如分而治之，讨论最简单的情况 - 一正一负两个点电荷、电量绝对值相等，相距 d，构成一个电偶极子(dipole), 电偶极矩的定义为

p=qd\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{d}\\

其中 d\boldsymbol{d} 是从负电荷指向正电荷的矢量，大小等于 d.

这么一个dipole在远处激发的电势为

V(r)=14πϵ0p⋅ι^ι2V(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}\cdot\hat{\iota}}{\iota^2} \\

那么应用电磁场的叠加原理，一个被极化的介质本身激发的电势为

V(r)=14πϵ0∫VP(r′)⋅ι^ι2dτ′V(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r'})\cdot\hat{\iota}}{\iota^2}d\tau'\\

这里要注意一下，电极化矢量我用的是 P(r′)\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r'}) 表达，因为电势是由源处的电偶极子们产生的，所以是针对源点 r′\boldsymbol{r'} 而不是
场点 r\boldsymbol{r}. 源和场之间的分离矢量(seperation vector)是ι≡r−r′\boldsymbol{\iota}\equiv\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}是从源指向场的。

现在可以使用“分部积分”的小技巧把 V(r)V(\boldsymbol{r}) 写成更加有趣的形式。

∫VP(r′)⋅ι^ι2dτ′=∫VP⃗(r′⃗)⋅[∇(ι−1)]dτ′\int_V\frac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r'})\cdot\boldsymbol{\hat{\iota}}}{\iota^2}d\tau' = \int_V\vec{P}(\vec{r'})\cdot[\nabla(\iota^{-1} )]d\tau' \\

然后“分部”积分，

∵∇⋅(fA⃗)=f∇⋅A⃗+(∇f)⋅A⃗⇒∫V(∇f)⋅A⃗dτ=∫V[∇⋅(fA⃗)−f∇⋅A⃗]dτ⇒∫V(∇f)⋅A⃗dτ=∫∂VfA⃗⋅da⃗−∫Vf∇⋅A⃗dτ\because\nabla\cdot(f\vec{A})=f\nabla\cdot\vec{A}+(\nabla f)\cdot\vec{A}\\ \Rightarrow \int_V (\nabla f)\cdot\vec{A}d\tau=\int_V[\nabla\cdot(f\vec{A}) - f\nabla\cdot\vec{A}]d\tau \\ \Rightarrow \int_V(\nabla f)\cdot\vec{A}d\tau = \int_{\partial V}f\vec{A}\cdot d\vec{a}-\int_V f\nabla\cdot\vec{A}d\tau \\

V(r⃗)=14πϵ0∮∂VP⃗(r′⃗)⋅da′⃗ι−14πϵ0∫V∇⋅P⃗(r′⃗)ιdτ′V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\oint_{\partial V}\frac{\vec{P}(\vec{r'})\cdot d\vec{a'} }{\iota} - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\nabla\cdot\vec{P}(\vec{r'})}{\iota}d\tau' \\

对比上式跟电势的定义式（势能零点取在无穷远点）

V(r⃗)=14πϵ0∫Vρ(r′⃗)ιdτ′V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho(\vec{r'})}{\iota}d\tau'\\

不妨把 −∇⋅P-\nabla\cdot\boldsymbol{P} 定义为束缚电荷密度，P⋅n^\boldsymbol{P}\cdot \hat{\boldsymbol{n}} 定义为束缚电荷面密度。

ρb=−∇⋅P⃗σb=P⃗⋅n^\begin{align} \rho_b&=-\nabla\cdot\vec{P}\\ \sigma_b&=\vec{P}\cdot\hat{n}\\ \end{align}\\

之所以称为“束缚电荷”(bounded charge), 是因为这些电荷本来就是电场“拉”出来的嘛，又跑不掉，只能在那个地方呆着，不能参加电流的传导。

线性均匀介质，极化的规律

物理人喜欢用“线性、均匀、各项同性”来简化问题。这里也不例外。对于线性介质，P=χeϵ0E\boldsymbol{P}=\chi_e\epsilon_0\boldsymbol{E}.极化强度矢量跟电场强度是线性的关系。

通常来讲，这个关系是不成立的。极化强度矢量和电场强度矢量平行，从微观上看来，是建立在介质的分子结构是各向同性的(homogeneous)。拿晶体作比方，那就是，无论你从任何角度看这个晶体，你看到的都是相同的结构。典型的粒子应该是金刚石吧。非线性介质就不一样了，从不同的三个角度（x,y,z)方向看，可以看到不同的结构。典型的例子是方解石。这也是方解石二向色性的起因。对这种介质，极化的规律是：

P=[χxxχxyχxzχyxχyyχyzχzxχzyχzz][ExEyEz]\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} \chi_{xx}&\chi_{xy}&\chi_{xz}\\ \chi_{yx}&\chi_{yy}&\chi_{yz}\\ \chi_{zx}&\chi_{zy}&\chi_{zz}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x\\ E_y\\ E_z\\ \end{bmatrix}\\

恩，张量。不过在小场近似下，大部分都还是线性介质的。

所以还是只讨论 linear-homogeneous 介质罢。

电位移矢量的引入

先看 ∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho/\epsilon_0.

这里的 ρ\rho 可没说是自由电荷密度 ρf\rho_f. Gauss 定理那里清清楚楚写的是“总电荷密度”。所以这里就考虑进前面加进来的束缚电荷密度 ρb\rho_b, i.e. ρ=ρf+ρb\rho=\rho_f+\rho_b. so,

∇⋅E=(ρf−∇⋅P)/ϵ0⇒∇⋅(ϵ0E+P)=ρf\nabla\cdot\boldsymbol{E}=(\rho_f-\nabla\cdot\boldsymbol{P})/\epsilon_0 \\ \Rightarrow\nabla\cdot(\epsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}) = \rho_f\\

这里就引入了一个新的辅助矢量, 电位移矢量(displacement)，定义为

D≡ϵ0E+P\begin{equation} \boldsymbol{D}\equiv\epsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\\ \end{equation}\\

注意哈，这是定义式子。如果要进入"线性均匀各项同性介质”的世界，那么

D≡ϵ0E+P=ϵ0E+χeϵ0E=ϵ0(1+χe)E=ϵ0ϵrE=ϵE\begin{align*} \boldsymbol{D}&\equiv\epsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P} \\ &=\epsilon_0\boldsymbol{E}+\chi_e\epsilon_0\boldsymbol{E}\\ &=\epsilon_0(1+\chi_e)\boldsymbol{E}\\ &=\epsilon_0\epsilon_r\boldsymbol{E}\\ &=\epsilon\boldsymbol{E}\\ \end{align*}\\

这是我学电磁学最痛苦的公式之一。当年就是学到这里就不想学这玩意了…讲真能不能直接上电动力学，让人学个明白嘛。

注： ϵ\epsilon 是介电常量，反映介质存储电荷的能力；ϵr\epsilon_r 是相对介电常量, 等于 ϵ/ϵ0\epsilon/\epsilon_0. 但是千万不要认为 ϵ0\epsilon_0只是真空中的介电常量。ϵ0\epsilon_0 本身是一个特殊的物理学常数，跟 ℏ,c\hbar,c 一样；而 ϵ\epsilon 只是根据理论漂亮的需要，凑成那样 (不然Maxwell方程组在介质里面又得换个长相). χe\chi_e 叫做电极化率。后面还会碰到磁极化率 χm\chi_m, 但是略有不同。

引入电位移矢量的缘由是，在求解存在介质的电场问题的时候，如果你想求电势，那必然得知道总体电荷密度分布。但是，你把电介质放进电场以后，是电场诱导出的束缚电荷，这束缚电荷的分布情况我们是束手无策；但是自由电荷的分布还是可以知道的（比如，在平行板电容器两个板子中间插入电介质的问题。自由电荷分布早就知道了，但是介质上面的束缚电荷分布未知）。所以通过引入电位移矢量就可以很轻松地求解出 D⃗\vec{D}, 如果是线性介质，那就可以求出 E⃗=D⃗/ϵ\vec{E}=\vec{D}/\epsilon .

介质中的磁场 - 磁化的规律

介质放在磁场中会发生什么呢？当然是磁化了。并且比起极化现象，磁化现象在生活中或许更常见。磁铁可以让什么别的材料带上磁性激发磁场，很少见到电场让别的材料永久极化变成什么”电铁”吧。

分子磁化的假设主要是安培的分子电流假说。 一个通电的微小线圈会带有“磁矩”， 定义为

m≡ia\begin{equation} \boldsymbol{m}\equiv i\boldsymbol{a}\\ \end{equation}

此处 a\boldsymbol{a} 是线圈的面积，其方向与电流的方向成右手螺旋关系。

这么定义磁矩是有道理的。正如电偶极子 p\boldsymbol{p} 在电场中会收到作用力从而 p\boldsymbol{p} 最终会趋近与电场平行，一个磁矩（电流环）m\boldsymbol{m} 在磁场中也会受到电流的作用从而使得 m\boldsymbol{m}向磁场的方向偏转。

那么根据前面的思路，先看一下一个圆形带电流线圈（磁偶极子，magnetic dipole）产生的磁场。

Bdip=μ04πm×r^r2\boldsymbol{B}_{\text{dip}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{m}\times\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2} \\

然后定义一个磁化强度矢量为单位体积内的磁偶极矩

M≡∑mΔV\boldsymbol{M}\equiv\frac{\sum\boldsymbol{m}}{\Delta V}\\

类似地，可以推导出来

αb=−n^×MJb≡∇×M\begin{align} \boldsymbol{\alpha}_b = -\boldsymbol{\hat{n}}\times\boldsymbol{M}\\ \boldsymbol{J}_b \equiv \nabla\times\boldsymbol{M} \end{align}\\

磁场强度矢量的引入

在考虑所有可能的电流分布 - 自由电流、位移电流、极化电流、磁化电流后，

∇×B⃗=μ0(Jf⃗+ϵ0∂E⃗∂t+∂P∂t+∇×M⃗)⇒∇×(B⃗μ0−M⃗)=μ0(J⃗f+∂∂t(ϵ0E⃗+P⃗))\nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\vec{J_f}+\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial t} +\nabla\times\vec{M}\right) \\ \Rightarrow \nabla\times\left( \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M} \right) =\mu_0 \left( \vec{J}_f+ \frac{\partial }{\partial t}(\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P} ) \right)\\

如果定义

H⃗≡B⃗μ0−M⃗\begin{equation} \boxed{ \vec{H}\equiv \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M} } \end{equation}\\

则

∇×H⃗=μ0(J⃗f+∂D⃗∂t)\begin{equation} \boxed{ \nabla\times\vec{H} = \mu_0 \left( \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \right) } \end{equation}\\

在线性均匀介质中，

M⃗=χmH⃗\begin{equation} \vec{M}=\chi_m\vec{H} \end{equation}\\

所以

B⃗=μ0(H⃗+M⃗)=μ0(1+χm)H⃗=μH⃗\begin{equation} \vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M}) = \mu_0(1+\chi_m)\vec{H}=\mu\vec{H} \end{equation}\\

Here, μ=μ0μr, μr=(1+χm)\mu=\mu_0\mu_r,\ \mu_r=(1+\chi_m) .

Summary - 介质中的Maxwell方程组; 边界条件

默认在线性均匀介质中。

∇⋅D⃗=ρf∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×H⃗=μ0(J⃗+JD⃗){B⃗=μH⃗D⃗=ϵE⃗J⃗=σE⃗(Ohm’s Law)\boxed{ \begin{align*} \nabla\cdot\vec{D}&=\rho_f\\ \nabla\times\vec{E}&=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\\ \nabla\times\vec{H}&=\mu_0(\vec{J}+\vec{J_D}) \end{align*}\\ \begin{cases} \vec{B}&=\mu\vec{H}\\ \vec{D}&=\epsilon\vec{E}\\ \vec{J}&=\sigma\vec{E} \quad\text{(Ohm's Law)} \end{cases}\\ }\\

积分形式

∮SD⃗⋅da⃗=Qenclosed∮PE⃗⋅dl⃗=−∂Φm∂t∮SB⃗⋅da⃗=0∮PH⃗⋅dl⃗=μ0(If∣enclosed+ID∣enclosed)\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{a}= Q_{enclosed} \\ \oint_P\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{\partial \Phi_m}{\partial t}\\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{a}=0\\ \oint_P\vec{H}\cdot d\vec{l}=\mu_0(I_{f}|_{\mathrm{enclosed}}+I_D|_{\mathrm{enclosed}})\\

通过积分形式很容易得到两个介质边界处的边界条件：

Dabove⊥−Dbelow⊥=σfEabove∥=Ebelow∥Babove⊥=Bbelow⊥Habove∥−Hbelow∥=αfVabove=VbelowA⃗above=A⃗belowD^\perp_{above}-D^\perp_{below}=\sigma_f \\ E^\parallel_{above}=E^\parallel_{below}\\ B^\perp_{above}=B^\perp_{below}\\ H^\parallel_{above} - H^\parallel_{below}=\alpha_f \\ V_{above}=V_{below}\\ \vec{A}_{above}=\vec{A}_{below} \\

最后两个条件是关于电场的标势和磁场的矢势的. 这两个条件是由于可以通过 E, B 的边界条件和 ∇⋅A⃗=0\nabla\cdot\vec{A}=0 这个条件推出。

如果用势来表达，那就类似于这样

ϵa∂V∂n−ϵb∂V∂n=σf\epsilon_a \frac{\partial V}{\partial n}-\epsilon_b \frac{\partial V}{\partial n}=\sigma_f \\

方向导数 ∂V∂n≡(∇V)⋅n^\frac{\partial V}{\partial n}\equiv(\nabla V)\cdot\hat{n} . 计算时尤其需要注意单位法向量 n^\hat{n} 的方向. 我就照搬 Griffiths 的习惯, n^\hat{n} 一律是从 “below” 指向 “above”.

多极展开

前面用到了电偶极、磁偶极激发的场的表达式。那么是否有更高阶的“极”呢？这就是多极展开需要用到的了。这里需要数理方程中的一个小知识点，Legendre多项式的生成函数：

1ι=1r2+r′2−2rr′cos⁡α=1r∑n=0∞(r′r)nPn(cos⁡α)here, α≡⟨r⃗,r⃗′⟩\boxed{ \frac{1}{\iota}=\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{r'}{r} \right)^nP_n(\cos\alpha) }\\ \mathrm{here, }\ \alpha\equiv \langle \vec{r},\vec{r}' \rangle \\

其中， Pn(cos⁡α)P_n(\cos\alpha) 是n阶Legendre多项式，

Pn(x)=1n!2ndndxn(x2−1)n\begin{equation} P_n(x)=\frac{1}{n!2^n}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \end{equation}

P0(x)=1P1(x)=xP2(x)=3x2−12\begin{align*} P_0(x)&=1\\ P_1(x)&=x\\ P_2(x)&=\frac{3x^2-1}{2}\\ \end{align*}\\

多极镇开是以 1/r1/r 的幂为基进行展开的。对应于 1/rk1/r^k 的项就叫做 kk 极项。

电势的多极展开

以无穷远点为势能零点，一个体电荷分布 VV 的电势的多极展开为

V(r)=14πϵ0∫Vρ(r′⃗)ιdτ′=14πϵ0∫Vρ∑n=1∞(r′)nrn+1Pn(cos⁡α)dτ′=14πϵ0[1r∫Vρdτ′+1r2∫V[ρr′cos⁡α]dτ′+⋯ ]单极子偶极子\begin{align*} V(r)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho(\vec{r'})}{\iota}\mathrm{d}\tau'\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\rho \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(r')^n}{r^{n+1}}P_n(\cos\alpha)\mathrm{d}\tau'\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \color{red}{\frac{1}{r}\int_V\rho\mathrm{d}\tau'} +\color{green}{\frac{1}{r^2}\int_V[\rho r'\cos\alpha]\mathrm{d}\tau'}\color{black} +\cdots \right]\\ \end{align*}\\ \text{\color{red}{单极子}\qquad\color{green}{偶极子}}\\

注意，最终表达时式中，1/r1/r 对应的就是单极子， 1/r21/r^2 对应的是偶极子， 1/rk1/r^k 对应的是 kk 极子，以此类推。偶极展开的意义在于，用 1/r1/r 的幂级数替代了 1/ι1/\iota , 从而使得简化计算成为了可能。后面在计算天线辐射时，便可以仅仅计算到偶极项。

从中也可以看出，展开级别越高，对电势的贡献越小。通常来说，当单极项为零的时候，就考虑偶极项，偶极项没有的时候，就考虑后面的近似，以此类推。

偶极子还可以写成一个更形象的形式，

V(r⃗)=14πϵ01r2∫V(r′cos⁡α)dτ′=14πϵ01r2r^⋅∫r⃗′ρdτ′\begin{align*} V(\vec{r})&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\int_V(r'\cos\alpha)\mathrm{d}\tau'\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2} \hat{r}\cdot \int\vec{r}'\rho \mathrm{d}\tau'\\ \end{align*}\\

define: P⃗≡∫Vr⃗′ρ(r⃗′)dτ′ then, Vdip(r⃗)=14πϵ0P⃗⋅r^r2\boxed{ \begin{align} \mathrm{define:}\ \vec{P} &\equiv \int_V\vec{r}'\rho(\vec{r}')\mathrm{d}\tau'\ \\ \mathrm{then,}\ V_{\mathrm{dip}}(\vec{r}) &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{P}\cdot\hat{r}}{r^2}\\ \end{align}}\\

这就是极化强度分布为 P⃗(r⃗′)\vec{P}(\vec{r}') 的电介质在场点 r⃗\vec{r} 处产生的电势。

磁矢势的多极展开

带稳定电流的闭合线圈磁矢势

A⃗(r⃗)=μ04π∫PJ⃗(r′⃗)ιdl′⃗\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_P\frac{\vec{J}(\vec{r'})}{\iota}\mathrm{d}\vec{l'}\\

PP 是表示线圈的那一条闭合曲线。

按照上面的方法，轻松得到

A⃗dip(r⃗)=μ0I4π∮P1r2r′cos⁡αdl⃗′=μ0I4πr2∮P(r^⋅r′⃗)dl⃗′=μ04πr2I(∫da⃗)×r^=μ04πm⃗×r^r2\begin{align*} \vec{A}_{\mathrm{dip}}(\vec{r}) &= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_P \frac{1}{r^2}r'\cos\alpha \mathrm{d}\vec{l}'\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \oint_P(\hat{r}\cdot\vec{r'}) \mathrm{d}\vec{l}' \\ &=\frac{\mu_0}{4\pi r^2}I \left(\int d\vec{a}\right)\times\hat{r} \\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\hat{r}}{r^2} \end{align*}\\

i.e. magenetic dipole

m⃗≡Ia⃗\boxed{ \vec{m}\equiv I\vec{a} }\\

并且矢势的展开没有奇数次项. 这里，a⃗\vec{a} 与电流流动的方向成右手螺旋关系。

于是可定义磁化强度=单位体积内的磁矩：

M⃗≡∑m⃗ΔV\begin{equation} \vec{M}\equiv \frac{\sum\vec{m}}{\Delta V} \end{equation}\\

这个关系经常用来求一个已经被(均匀)磁化的介质的总磁矩 m⃗=M⃗V\vec{m}=\vec{M}V. 如果不均匀磁化，写成积分就好。

注： 磁偶极矩 m\boldsymbol{m} 是与坐标系选取无关的；而电偶极矩 P\boldsymbol{P} 则是与坐标原点的选取有关，除非总电荷为零。可以用四个正方形排布的点电荷简单验证一下。