导体中的单色波

Maxwell 方程式写作

∇×E=−∂B∂t∇×B=μ(σE+ϵ∂E∂t)∇⋅E=ρt/ϵ0∇⋅B=0\begin{align*} \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla\times \mathbf B &= \mu \left( \sigma\mathbf E+\epsilon \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \right)\\ \nabla\cdot\mathbf E &=\rho_t/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \mathbf B &= 0\\ \end{align*}

由于导体中的电荷主要分布在表面, 因此在导体内部 ρt=0\rho_t=0

∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E=−∇2E=−∂t(∇×B)=−∂tμ(σE+ϵ∂tE)\begin{align*} \nabla\times(\nabla\times\mathbf E)&= \nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E \\ &=-\nabla^2\mathbf E \\ &=-\partial_t(\nabla\times\mathbf B) \\ &=-\partial_t\mu \left( \sigma\mathbf E+\epsilon\partial_t\mathbf E \right)\\ \end{align*}

考虑单色平面波解, 设 E=E0exp⁡[i(k⋅r−ωt)],B=B0exp⁡[i(k⋅r−ωt)]\mathbf E=\mathbf E_0\exp[i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)],\mathbf B=\mathbf B_0\exp[i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)]. 则 ∂tE=−iωE\partial_t\mathbf E=-i\omega\mathbf E.
因此, 有

∇2E−∂t(σ−iωϵ)E=0∇2E+iω(μσ−iωμσ)E=0\nabla^2\mathbf E -\partial_t(\sigma-i\omega\epsilon)\mathbf E =0\\ \nabla^2\mathbf E +i\omega(\mu\sigma-i\omega\mu\sigma)\mathbf E =0\\

如果定义复电容率 ϵ′=ϵ+iσ/ω\epsilon'=\epsilon+i\sigma/\omega, 则上面方程可以写成

∇2E+μω2ϵ′E=0\nabla^2\mathbf E +\mu\omega^2\epsilon'\mathbf E =0

如此, 定义复数的波矢量 k=ω2μϵ′=β+iα\mathbf k=\sqrt{\omega^2\mu\epsilon'}=\mathbf\beta+i\mathbf \alpha.

这样, 导体中的电场便写成

E=E0exp⁡[i(β⋅r−ωt)]exp⁡(−α⋅r)\mathbf E=\mathbf E_0 \exp[i(\mathbf\beta\cdot\mathbf r-\omega t)]\exp(-\mathbf\alpha\cdot\mathbf r)

这样, 就发现, 电磁波在导体中是强度递减的.

趋肤效应

用 v\mathbf v 表示一个矢量, 而用 vv 表示 ∣v∣≡v⋅v|\mathbf v|\equiv\mathbf v\cdot\mathbf v.

前面定义了 k=β+iα\mathbf k=\mathbf \beta+i\mathbf\alpha. 那么便得到 k⋅k=k2=β2−α2+2iβ⋅α=ω2μϵ+iωμσ\mathbf k\cdot\mathbf k=k^2=\beta^2-\alpha^2+2i\mathbf\beta\cdot\mathbf\alpha=\omega^2\mu\epsilon+i\omega\mu\sigma. 因此,

β2−α2=ω2μϵβ⋅α=12ωμσ\begin{align*} \beta^2-\alpha^2&=\omega^2\mu\epsilon\\ \mathbf\beta\cdot\mathbf\alpha&=\frac{1}{2}\omega\mu\sigma \end{align*}

由于

Re(k2)Im(k2)=ωϵσ\frac{\mathrm{Re}(k^2)}{\mathrm{Im}(k^2)}=\frac{\omega\epsilon}{\sigma}

当 σ→∞\sigma\to\infty ( 良导体 ) 的时候上面的比值趋近于0, 因此复数波矢量的主要部分就是虚数部分 k≈iωμσ=ωμσexp⁡(iπ/4)\mathbf k\approx \sqrt{i\omega\mu\sigma}=\sqrt{\omega\mu\sigma}\exp(i\pi/4).

因此 β2−α2≈0\beta^2-\alpha^2\approx 0, 这样便推出 α≈(ωμσ)/2\alpha\approx\sqrt{(\omega\mu\sigma)/2}, 于是电磁波的穿透深度 δ=α−1≈2/(ωμσ)\delta=\alpha^{-1}\approx\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}.

因此, 电导率越大, 波长越长, 电磁波的穿透深度越低.

导体内电场与磁场的大小关系

真空中的平面电磁波满足 E=cBE=cB, 但是在导体中并非如此.

下面统一把电容率用 ε\varepsilon 表示 ( ε\varepsilon 跟 ϵ\epsilon 长相略有差别). 这样就可以把导体和真空中的 Maxwell 方程统一写法. 假设已经算出 E\mathbf E, 则

∇×E=−∂tB=iωB∇×E=ik×Ek2=ω2με⇒B=kωek×E\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B=i\omega\mathbf B\\ \nabla\times\mathbf E=i\mathbf k\times \mathbf E\\ k^2=\omega^2\mu\varepsilon\\ \Rightarrow \mathbf B=\frac{k}{\omega}\mathbf e_k\times\mathbf E \\

  • 如果是真空, 那么 B=c−1E\mathbf B=c^{-1}\mathbf E;
  • 如果是在导体中, 那么由于 k≈ωμσexp⁡(iπ/4)k\approx \sqrt{\omega\mu\sigma}\exp(i\pi/4), 所以

B≈μσωexp⁡(iπ/4)ek×E\mathbf B\approx\sqrt{\frac{\mu\sigma}{\omega}}\exp(i\pi/4)\mathbf e_k\times\mathbf E

所以, 如果是良导体 ( 电导率大, 电磁波的频率低 ), 那么磁场将强于电场, 并且二者还会存在一个相位差.