位力定理

(1) 经典力学中的位力 ( Virial ) 定理

令 r={x,y,z}\mathbf r=\{x,y,z\} 是位置矢量, V=V(x,y,z)V=V(x,y,z) 是势函数.

⟨p22μ⟩=12⟨r⋅∇V⟩\left\langle \frac{p^2}{2\mu}\right\rangle =\frac{1}{2}\langle \mathbf r\cdot\nabla V\rangle

证明:

∂(r⋅p)∂t=ddt(ripi)=dridtipi+ridpidt=v⋅p+r⋅F=2p⋅p2μ−r⋅(∇V)\begin{align*} \frac{\partial (\mathbf r\cdot\mathbf p)}{\partial t}&=\frac{\rm d}{\rm dt}(r_ip_i)\\ &=\frac{dr_i}{dt_i}p_i+r_i\frac{dp_i}{dt}\\ &=\mathbf v\cdot\mathbf p+\mathbf r\cdot\mathbf F\\ &=2\frac{\mathbf p\cdot\mathbf p }{2\mu}-\mathbf r\cdot(\nabla V) \end{align*}

同时对时间取平均值,

⟨f(t)⟩≡T−1∫0Tf(t)dt\langle f(t)\rangle\equiv T^{-1}\int_0^Tf(t)\mathrm{d}t

⟨d(r⋅p)dt⟩=lim⁡T→∞1T∫0Td(r⋅p)dtdt=0=2⟨p22μ⟩−⟨r⋅∇V⟩⇒⟨p22μ⟩≡⟨T⟩=12⟨r⋅∇V⟩\begin{align*} \left\langle\frac{d(\mathbf r\cdot\mathbf p )}{dt} \right\rangle &= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T\frac{d(\mathbf r\cdot\mathbf p)}{dt}dt\\ &=0=2\left\langle\frac{p^2}{2\mu}\right\rangle-\langle\mathbf r\cdot\nabla V\rangle \\ \Rightarrow\left\langle\frac{p^2}{2\mu}\right\rangle &\equiv\langle T\rangle =\frac{1}{2}\langle\mathbf r\cdot\nabla V\rangle \end{align*}

如果 V(x,y,z)=a1xα+a2yα+a3zαV(x,y,z)=a_1x^\alpha+a_2y^\alpha+a_3z^\alpha 是关于坐标的 α\alpha 次齐次函数, 则容易算出

r⋅∇V=αV\mathbf r\cdot\nabla V=\alpha V\\

因此有 ⟨r⋅∇V⟩=α⟨V⟩\langle\mathbf r\cdot\nabla V\rangle=\alpha\langle V\rangle,
即 ⟨T⟩=(α/2)⟨V⟩\langle T\rangle=(\alpha/2)\langle V\rangle. 进一步地, 设 HH 是哈密顿量,

⟨H⟩=⟨T⟩+⟨V⟩=α+22⟨V⟩\begin{align*} \langle H\rangle&=\langle T\rangle+\langle V\rangle\\ &=\frac{\alpha+2}{2}\langle V\rangle \end{align*}

整理一下,

⟨H⟩=α+22⟨V⟩⟨T⟩=α2⟨V⟩\begin{align*} \langle H\rangle &=\frac{\alpha+2}{2}\langle V\rangle \\ \langle T\rangle &=\frac{\alpha}{2}\langle V\rangle \\ \end{align*}

如果已经知道 ⟨H⟩\langle H\rangle, 那么

⟨V⟩=2α+2⟨H⟩⟨T⟩=αα+2⟨H⟩\begin{align*} \langle V\rangle &= \frac{2}{\alpha+2}\langle H\rangle \\ \langle T\rangle &= \frac{\alpha}{\alpha+2}\langle H\rangle \\ \end{align*}

这便是位力定理.

比如在一维谐振子中, 已经知道了 V=(1/2)μω2x2V=(1/2)\mu\omega^2x^2 是坐标的二次齐次函数,所以有 ⟨V⟩=⟨T⟩=(1/2)⟨H⟩\langle V\rangle=\langle T\rangle=(1/2)\langle H\rangle. 正是常规计算所得出的结果.

(2) 在量子力学中, 定理推导过程一致, 只需要将H,T,VH,T,V 换成相应算符即可.