Dirac 符号与表象变换

Dirac 符号

在狄拉克符号的体系中，用右矢(ket，∣⟩|\rangle) 表示一个态，对应于希尔伯特空间中的一个向量。一个右矢对应于一个左矢(bra, ⟨∣\langle|). 称全体右矢组成的线性空间是右矢空间（态空间）；全体左矢构成的空间就是（左矢空间）对偶空间。对偶空间中的元素（左矢）就是一个泛函（从希尔伯特空间到复数域的一个线性函数）。

一个可观测量对应于一个线性厄米算符，用大写字母如 F^\hat F 表示.坐标对应于坐标算符 x^,y^,z^\hat x,\hat y,\hat z, 动量算符对应于 p^≐−iℏ∇\hat p\doteq -i\hbar\nabla (坐标表象下).

线性代数里面学到过，> 对于一个线性空间 VV, 定义在 VV 上的所有线性函数组成对偶空间 V∗V^*.> 那么 ∀v∈V,fu∈V∗\forall v\in V, f_u\in V^*，> 有 fu:V↦C,fu(v)=(u,v)f_u: V\mapsto \mathbb{C}, f_u(v)=(u,v)

所以说， 左矢就是一个值域为复数域 C\mathbb{C} 的线性变换。

基本概念：

这里的“基本”不是指数学里的那种最基础的代数结构； 是值这些运算法则是最有用的、记住之后可以很容易推出其他法则的。

对偶(dual，用 ↔\leftrightarrow 表示).一个右矢对偶于一个左矢。

算符：算符是一个线性变换，当其作用在一个右矢上之时，会把右矢映射成另一个矢量。即 F^∣a⟩=∣b⟩\hat F|a\rangle=|b\rangle ， F^\hat F 就是一个算符。

记 F^†\hat F^\dagger 是 F^\hat F 的厄米共轭算符；果 F^†=F^\hat F^\dagger=\hat F, 则称 F^\hat F 是厄米算符。

本征方程与本征值：当一个矢量 ∣a′⟩|a'\rangle 满足 F^∣a′⟩=a′∣a′⟩\hat F|a'\rangle=a'|a'\rangle 时，称 ∣a′⟩|a'\rangle 是算符 F^\hat F 的本征右矢（本征态），a′a' 是一个本征值。

态叠加原理：若一个粒子处在算符 F^\hat F 的本征态 ∣λ⟩|\lambda\rangle中， 测量可观测量 FF 将会> 得到一个确定的值 λ\lambda. 如果处在某个态 ∣α⟩=∑λ′cλ′∣λ′⟩|\alpha\rangle=\sum_{\lambda'}c_{\lambda'}|\lambda'\rangle 中, 其中 {λ′}\{\lambda'\} 是 F^\hat F 的所有本征右矢的最大线性无关组； 对 FF 进行测量， 测得 F=λ′′F=\lambda'' 的概率就是 ∣cλ′∣2∑λ′∣cλ′∣2\frac{|c_{\lambda'}|^2}{\sum_{\lambda'}|c_{\lambda'}|^2}. 这就是所谓的态叠加原理. cλ′c_{\lambda'} 叫做概率幅，其模方是概率密度。

测量假设：假设你对一个叠加态 ∣α⟩=∑a′ca′∣a′⟩|\alpha\rangle=\sum_{a'}c_{a'}|a'\rangle 进行一次测量， 则会得到所有可能的本征值中的一个， 并且测量后态函数会塌缩为这个本征值对应的本征态。

上面讨论的本征值的取值是分立的。征值是连续值时，若 ∣α⟩=∫dλ′c(λ′)∣λ′⟩|\alpha\rangle=\int\mathrm{d}\lambda'c(\lambda')|\lambda'\rangle. 则测量FF的值落在区间 [λ′,λ′+dλ][\lambda',\lambda'+d\lambda] 的概率就是 ∣cλ′∣2dλ|c_{\lambda'}|^2\mathrm{d}\lambda

运算规则

■\blacksquare 对偶规则

  • ∣a⟩↔⟨a∣|a\rangle\leftrightarrow\langle a |
  • F^∣a⟩↔⟨a∣F^†\hat F|a\rangle\leftrightarrow\langle a |\hat F^\dagger
    • F^†\hat F^\dagger 是 FF 的厄米共轭算符。
      里的 †\dagger 可以理解成转置复共轭，
      i.
      .
      F^†=(F^T)∗\hat F^\dagger =(\hat F^T)^*

■\blacksquare 内积：∣α⟩|\alpha\rangle 跟 ∣β⟩|\beta\rangle 的内积就是 ⟨α∣⋅∣β⟩≡⟨α∣β⟩∈C\langle \alpha |\cdot|\beta\rangle\equiv\langle \alpha|\beta \rangle\in\mathbb{C}.

利用这一点可以证明：

  • 交换律：⟨α∣β⟩=⟨β∣α⟩∗\langle \alpha|\beta \rangle=\langle \beta|\alpha \rangle^*
  • 结合律：⟨α∣⋅(∣β⟩+∣γ⟩)=⟨α∣β⟩+⟨α∣γ⟩\langle \alpha |\cdot(|\beta\rangle+|\gamma\rangle)=\langle \alpha|\beta \rangle+\langle \alpha|\gamma \rangle.

两个态 ∣α⟩,∣β⟩|\alpha\rangle,|\beta\rangle 是正交的,
当 ⟨α∣β⟩=0\langle \alpha | \beta\rangle=0;
态 ∣α⟩|\alpha\rangle 是正交归一的，
当 ⟨α∣α⟩=1\langle\alpha|\alpha\rangle=1;
一组态 {∣a′⟩}\{|a'\rangle\} 是正交归一的，
当 ⟨a′∣a′′⟩=δa′a′′\langle a'|a''\rangle=\delta_{a'a''}.

■\blacksquare 外积：∣α⟩|\alpha\rangle与 ∣β⟩|\beta\rangle 的外积定义为 ∣α⟩⟨β∣|\alpha\rangle\langle \beta |

  • (∣α⟩⟨β∣)†=∣β⟩⟨α∣(|\alpha\rangle\langle\beta|)^\dagger=|\beta\rangle\langle\alpha| .

∣a⟩⟨b∣|a\rangle\langle b| 是一个算符。
为 ∣a⟩⟨b∣∣c⟩=(⟨a∣c⟩)∣b⟩|a\rangle\langle b| |c\rangle=(\langle a|c\rangle) |b\rangle
是一个右矢，符合算符的定义。> 利用这个可以证明上面的那个性质。

■\blacksquare 跟算符有关的运算：

  • 本征方程：如果 ∣a′⟩|a'\rangle 是 F^\hat F 的本征右矢，则 F^∣a′⟩=a′∣a′⟩\hat F|a'\rangle=a'|a'\rangle;
  • 厄米共轭算符：前面提到 (F^∣a′⟩)†=⟨a′∣F^†(\hat F|a'\rangle)^\dagger=\langle a' |\hat F^\dagger .其中 F^†\hat F^\dagger 是 F^\hat F 的厄米共轭算符；
  • 厄密算符：如果 F^†=F^\hat F^\dagger=\hat F, 则 F^\hat F 叫做厄米算符。
  • ⟨α∣F^∣β⟩∗=⟨β∣F^†∣α⟩\langle \alpha|\hat F|\beta\rangle^*=\langle \beta|\hat F ^\dagger|\alpha\rangle
  • F^G^∣a⟩=F^(G^∣a⟩)\hat F\hat G|a\rangle=\hat F(\hat G|a\rangle)
  • (F^+G^)∣a⟩=F^∣a⟩+G^∣a⟩(\hat F+\hat G)|a\rangle=\hat F|a\rangle+\hat G|a\rangle

几个有用的事实

■\blacksquare 结合性公理：大概就是说，可以在一个含有多个狄拉克符号的式子中随意画任意一个括号，并按照这个顺序做运算。比如 ∣c⟩⟨a∣b⟩=(∣c⟩⟨a∣)∣b⟩=∣c⟩(⟨a∣b⟩)|c\rangle\langle a|b \rangle=(|c\rangle\langle a |)|b\rangle=|c\rangle(\langle a|b \rangle) .

■\blacksquare 厄米算符本征矢量的完备性：厄米算符的本征矢量是完备的, 即∑a′∣a′⟩⟨a′∣=1\sum_{a'}|a'\rangle\langle a' |=1.这里的 11 指的是单位算符，而不是数字 1.

■\blacksquare 如果本征值是连续的，那么完备性条件就变成了 ∫dλ∣λ⟩⟨λ∣=1\int\rm{d}\lambda|\lambda\rangle\langle \lambda |=1 .这里就是一个简单的求和变积分(∑λ→∫dλ\sum_{\lambda}\rightarrow\int\rm{d}\lambda).

完备性的这两个关系是十分有用的。

一组矢量是完备的当且仅当这一组矢量所在的线性空间中的任意矢量都可以由这组矢量展开得到， 即 ∀∣α⟩,∣α⟩=∑a′ca′∣a′⟩,ca′∈C\forall |\alpha\rangle, |\alpha\rangle=\sum_{a'}c_{a'}|a'\rangle, c_{a'}\in\mathbb{C}, 其中 {∣a′⟩}\{|a'\rangle\} 是本征函数集合. 这里 ∣a′⟩,a′|a'\rangle, a' 上面的 【'】号是一个求和指标， 类似于 i,j,ki,j,k. 在必要时可以将其换成数字以方便看清编号关系。

所以任意一个矢量 ∣α⟩=∑a′∣a′⟩⟨a′∣∣α⟩=∑a′⟨a′∣α⟩∣a′⟩|\alpha\rangle=\sum_{a'}|a'\rangle\langle a' ||\alpha\rangle=\sum_{a'}\langle a'|\alpha \rangle|a'\rangle.因此，∣α⟩=∑a′ca′∣a′⟩|\alpha\rangle=\sum_{a'}c_{a'}|a'\rangle 中的展开系数ca′=⟨a′∣α⟩c_{a'}=\langle a'|\alpha \rangle.

利用狄拉克符号可以证明许多结论。 如厄米算符的本征值是实数：
因为 F^∣a′⟩=a′∣a′⟩⇒⟨a′∣F^†=⟨a′∣F^=(a′)∗⟨a′∣\hat F|a'\rangle=a'|a'\rangle\Rightarrow \langle a' |\hat F^\dagger=\langle a' |\hat F=(a')^*\langle a' | .
用 ⟨a′∣\langle a' | 左乘第一式， 用 ∣a′⟩|a'\rangle 右乘第二式， 则得到

⟨a′∣F^∣a′⟩=a′⟨a′∣a′⟩=(a′)∗⟨a′∣a′⟩⇒a′=(a′)∗\langle a' |\hat F|a'\rangle=a'\langle a'|a' \rangle=(a')^*\langle a'|a' \rangle\Rightarrow a'=(a')^*

i.e. 厄米算符的本征值是实数。

用类似的手法还可以证明：F^\hat F 的不同本征子空间相互正交，即属于不同本征值的本征右矢之间是的内积为零。

波函数与可观测量的平均值、方差

ca′=⟨a′∣α⟩c_{a'}=\langle a'|\alpha \rangle称做态 ∣α⟩|\alpha\rangle 在 F^\hat F 表象下的波函数，记作 ψα(a′)\psi_{\alpha}(a') . α\alpha 是态指标，指示当前的态；a′a' 是表象指标，指示呈现波函数的表象。

通过态叠加原理便可以得出， ∣ψα(a′)∣2|\psi_{\alpha}(a')|^2 就是当粒子处于 ∣α⟩|\alpha\rangle 时进行一次测量测得 F^=a′\hat F=a' 的概率假设所有右矢已经归一化）。与波函数的哥本哈根诠释是一致的。

利用这一点可以得出对叠加态进行多次测量得到的平均值。

⟨F^⟩=∑a′∣ca′∣2a′=∑a′(ca′)∗ca′a′=∑a′⟨α∣a′⟩⟨a′∣α⟩a′=∑a′⟨α∣a′⟩⟨a′∣H^∣α⟩=⟨α∣H^∣α⟩\begin{align*}\langle\hat F \rangle &=\sum_{a'}|c_{a'}|^2a'=\sum_{a'}(c_{a'})^*c_{a'}a'\\&=\sum_{a'}\langle\alpha|a'\rangle\langle a'|\alpha\rangle a'\\&=\sum_{a'}\langle\alpha|a'\rangle\langle a'|\hat H|\alpha\rangle \\&=\langle\alpha|\hat H|\alpha\rangle\end{align*}

这就是力学量的平均值的表达式。如果考虑到时间演化，已知分析力学与量子力学有对应关系

[ , ]↦(1/iℏ)[ , ][\ ,\ ]\mapsto(1/i\hbar)[\ ,\ ]

左边的是经典力学中的 Poisson 括号，右边的是量子力学中的对易子 (commutator). 那么，经典力学中的哈密顿方程

∂⟨F⟩∂t=⟨∂F^∂t⟩+[F^,H^]\frac{\partial\langle F\rangle}{\partial t}=\left\langle\frac{\partial\hat F}{\partial t}\right\rangle+[\hat F,\hat H]

对应到量子力学中就变成了

∂⟨F^⟩∂t=⟨∂F^∂t⟩+1iℏ⟨[F^,H^]⟩\frac{\partial \langle\hat F\rangle}{\partial t}=\left\langle \frac{\partial\hat F}{\partial t}\right\rangle+\frac{1}{i\hbar}\left\langle[\hat F,\hat H]\right\rangle

这就是量子力学中力学量平均值随时间变化的关系。 可以看出，如果 F^\hat F 不显含时间，并且 F^,H^\hat F, \hat H 对易，则力学量的平均值不随着时间改变。也就是说，FF 是一个守恒量。

还有一种特殊情况会导致守恒：假设 F^∣ψ⟩=ψ∣ψ⟩\hat F|\psi\rangle=\psi|\psi\rangle, 则

⟨F^⟩=⟨ψ∣(F^H^−H^F^)∣ψ⟩=ψ⟨ψ∣H^∣ψ⟩−ψ⟨ψ∣H^∣ψ⟩=0\begin{align*}\langle\hat F\rangle &=\langle\psi|(\hat F\hat H - \hat H\hat F)|\psi\rangle\\ &=\psi\langle\psi|\hat H|\psi\rangle - \psi\langle\psi|\hat H|\psi\rangle \\ &= 0 \end{align*}

这时如果 H^\hat H 与时间无关，则 ⟨F^⟩\langle\hat F\rangle 也是守恒量。

投影算符；态与可观测量的矩阵表示

⧫\blacklozenge 投影算符

定义投影算符 Λa′≡∣a′⟩⟨a′∣\Lambda_{a'}\equiv |a'\rangle\langle a' |.当其作用在一个态矢量 ∣α⟩|\alpha\rangle 上时，将会把 ∣α⟩|\alpha\rangle 在 ∣a′⟩|a'\rangle 上的分量选择出来 —— ∣a′⟩⟨a′∣∣α⟩=(⟨a′∣α⟩)∣a′⟩|a'\rangle\langle a' ||\alpha\rangle=(\langle a'|\alpha \rangle)|a'\rangle 是沿着 ∣a′⟩|a'\rangle 方向的。

⧫\blacklozenge 态矢量在一定基矢量下的矩阵表示

利用完备性条件 ∑a′∣a′⟩⟨a′∣=1\sum_{a'}|a'\rangle\langle a'|=1, 可以得到∣α⟩=∑a′⟨a′∣α⟩∣a′⟩|\alpha\rangle=\sum_{a'}\langle a'|\alpha \rangle|a'\rangle 可以写作列矩阵（写作列矩阵属于惯例）。

∣α⟩≐[⟨a′∣α⟩⟨a′′∣α⟩⋮]|\alpha\rangle\doteq \begin{bmatrix} \langle a'|\alpha \rangle\\ \langle a''|\alpha \rangle\\ \vdots \\ \end{bmatrix}\\

这个列矩阵可以理解成在以 {∣a′⟩}\{|a'\rangle\} 为基时态矢量的“坐标”。

利用厄米算符本征值的完备性 ∑a′∣a′⟩⟨a′∣=1\sum_{a'}|a'\rangle\langle a' |=1, 可以得到算符在 F^\hat F 表象中的矩阵形式：

A^=∑a′,a′′∣a′⟩⟨a′∣A^∣a′′⟩⟨a′′∣=⟨a′∣A∣a′′⟩∣a′⟩⟨a′′∣\hat A=\sum_{a',a''}|a'\rangle\langle a' |\hat A|a''\rangle\langle a'' |=\langle a'|A|a'' \rangle|a'\rangle\langle a'' |

记矩阵元为 Aa′a′′=⟨a′∣A^∣a′′⟩A_{a'a''}=\langle a'|\hat A |a''\rangle, 则算符 A^\hat A 在表象 F^\hat F 下的矩阵形式为

A≐[⟨a(1)∣A^∣a(1)⟩⟨a(1)∣A^∣a(2)⟩⋯⟨a(2)∣A^∣a(1)⟩⋯⋯⋮⋯⋯]A\doteq \begin{bmatrix} \langle a^{(1)} |\hat A|a^{(1)}\rangle & \langle {a^{(1)}}|\hat A|a^{(2)} \rangle & \cdots \\ \langle a^{(2)} |\hat A|a^{(1)}\rangle & \cdots & \cdots \\ \vdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix}

好，
现在还没有讲基矢 {∣a′⟩}\{|a'\rangle\} 的选取。果基矢量是算符 F^\hat F 的本征矢量，并且已经正交归一了（施密特正交化方法告诉我们总可以讲任何一组线性无关矢量正交归一），那么就会发现如下的关系：

  • 算符 F^\hat F 在自身表象下的矩阵表示是对角阵，对角元为本征值。明：⟨a′∣F^⟩∣a′′=a′′⟨a′∣a′′⟩=a′′δa′a′′■\langle a'|\hat F \rangle|a''=a''\langle a'|a'' \rangle=a''\delta_{a'a''} \quad \blacksquare

表象变换

在 F^\hat F 表象里 ∣α⟩=∑a′ca′∣a′⟩,ca′=⟨a′∣α⟩|\alpha\rangle=\sum_{a'}c_{a'}|a'\rangle, \quad c_{a'}=\langle a'|\alpha \rangle.那么如果我想要把基矢量从 {∣a′⟩}\{|a'\rangle\} 变换到 {∣b′⟩}\{|b'\rangle\} 中，应该如何做呢？答案是用完备性条件。

在 b′b' 表象中， ∣α⟩=∑b′∣b′⟩⟨b′∣α⟩|\alpha\rangle=\sum_{b'}|b'\rangle\langle b'|\alpha \rangle .因此可以得到在 b′b' 表象中 ∣α⟩|\alpha\rangle 的矩阵元就是 ⟨b′∣α⟩=∑a′⟨b′∣a′⟩⟨a′∣α⟩\langle b'|\alpha \rangle=\sum_{a'}\langle b'|a' \rangle\langle a'|\alpha \rangle.

假设 ∣α⟩|\alpha\rangle 在 a′,b′a',b' 表象中的矩阵表示分别为 α,β\alpha,\beta，
则

β=U^†α,Ua′b′=⟨a′∣b′⟩\beta =\hat U^\dagger \alpha, \quad U_{a'b'}=\langle a'|b' \rangle \\

那么矩阵呢？一样地，

⟨a′∣F^⟩∣a′′=∑b′,b′′⟨a′∣b′⟩⟨b′∣F^⟩∣b′′⟨b′′∣a′′⟩=UF′U†\begin{align*} \langle a'|\hat F \rangle|a'' &=\sum_{b',b''}\langle a'|b' \rangle\langle b'|\hat F \rangle|b''\langle b''|a'' \rangle\\ &=U F'U^\dagger \\ \end{align*}

如果 UU 是 Unitary (幺正)矩阵，则 F′=U†FUF'=U^\dagger FU .

证明 UU 就是 Unitary 矩阵：
(UU†)a′a′′=∑b′⟨a′∣b′⟩⟨b′∣a′′⟩=⟨a′∣a′′⟩=δa′a′′(UU^\dagger)_{a'a''} =\sum_{b'}\langle a'|b' \rangle\langle b'|a'' \rangle=\langle a'|a'' \rangle=\delta_{a'a''}
正好是单位矩阵。同理可证 U†U=IU^\dagger U=I .
因此，UU 是 Unitary 矩阵。■\blacksquare

综上所述，从老的基 {∣a′⟩}\{|a'\rangle\} 转换到新的基 {∣b′⟩}\{|b'\rangle\} 时，右矢和矩阵的矩阵表示分别按如下规则变换：

  1. β=U†α\beta=U^\dagger\alpha
  2. F′=U†FUF'=U^\dagger FU

其中 α,β\alpha,\beta 分别是在老基和新基中态 ∣α⟩|\alpha\rangle 的矩阵表示，F,F′F,F' 分别是算符 F^\hat F 在老基和新基中的矩阵表示。Uij=⟨a(i)∣b(j)⟩U_{ij}=\langle a^{(i)}|b^{(j)}\rangle .

所谓表象变换就是将基向量从某个算符的本征矢集合变换到另一个算符的本征矢集合而已，因此这里的讨论可以直接套用。

“表象变换”这个词翻译得挺好的，只是变换了“表象”； 实质”——例如本征值、平均值、迹、内积、对易关系等等，是不会变的。 些性质线性代数中已经证明过了。

求表象变换矩阵的方法

求表象变换矩阵 UU 的方法主要有两种。

  1. 上面提到的直接计算矩阵元 Uij=⟨a(i)∣b(j)⟩U_{ij}=\langle a^{(i)} |b^{(j)}\rangle 。种方法可以直接求任何两组基之间的变换矩阵，只要你知道基的形式。
  2. 第二种方法更为常用——主要用于将算符的矩阵表示从其他表象转换到其本征表象，也就是对角化。

这里介绍对角化方法。F,F′F,F' 的含义同上。

F′=U†FU=diag(λ1,⋯ ,λn)UF′=UU†FU=FU\begin{align*} F'&=U^\dagger F U=\rm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\\ UF'&=UU^\dagger FU=FU \\ \end{align*}\\

将矩阵 UU 按列分块，U=[u1,⋯ ,un]U=[u_1,\cdots,u_n] , 则按分块矩阵乘法便可以得到

UF′=[λ1u1,…,λnun]=[Fu1,…,Fun]∴Fui=λiui\begin{align*} UF'&=[\lambda_1u_1,\dots,\lambda_nu_n] \\ &=[Fu_1,\dots,Fu_n] \\ \therefore Fu_i &= \lambda_i u_i \\ \end{align*}\\

因此，只需要求解方程 (F−λI)u=0(F-\lambda I)u=0 便可。方程无平凡解的条件是 det⁡(F−λI)=0\det(F-\lambda I)=0 .求解得到本征值后，按顺序把本征值带入线性方程组 Fu=λuFu=\lambda u 中便可以解出 uu, 然后把 uu 归一化之后按顺序从左到右排成一个矩阵便得到了幺正变换矩阵 UU .

如此，在 F^\hat F 本身的表象下 F^\hat F 的矩阵表示为 U†FU=diag(λ1,⋯ ,λn)U^\dagger F U=\rm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) .所有的矩阵，如果其在原来的表象下的矩阵表示为 α\alpha,则在 F^\hat F 表象下的矩阵表示就变成了 U†αU^\dagger \alpha.

波函数在不同表象中的变换

Exp-1: 以一维情况下的动量表象与坐标表象为例。

求：x^,p^\hat x,\hat p 的本征函数在动量表象下的形式。

首先给出坐标表象下的基函数。
本征方程 x^∣x′⟩=x′∣x′⟩\hat x|x'\rangle=x'|x'\rangle,
可知 δ(x−x′)\delta(x-x') 就是坐标算符 x^\hat x 的本征函数，本征值为 x′x' .

动量算符的本征函数由方程 p^xψ(x)=p′ψ(x)\hat p_x\psi(x)=p'\psi(x) 给出；
知坐标表象下动量算符的形式为 p^(x)=−iℏ∂x\hat p(x)=-i\hbar \partial_x .
因此动量算符在坐标表象下的本征函数就是
ψp′(x)=12πℏexp⁡(ip′ℏx)\psi_{p'}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp(i\frac{p'}{\hbar}x) .

态 ∣α⟩|\alpha\rangle 在动量表象下的波函数为 ⟨p′∣α⟩\langle p'|\alpha\rangle .
因此 ψx′(p)=⟨p∣x′⟩\psi_{x'}(p)=\langle p|x'\rangle .

注意到 ψp′(x)=⟨x∣p′⟩=12πℏexp⁡(ip′x/ℏ)\psi_{p'}(x)=\langle x|p'\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp(ip'x/\hbar),
所以动量表象下 x^\hat x 的本征函数是

⟨p′∣x⟩=ψx(p′)=ψp′∗(x)=12πℏexp⁡(−ip′x/ℏ)\langle p'|x\rangle=\psi_{x}(p')=\psi^*_{p'}(x)=\frac{1}{2\pi\hbar}\exp(-ip'x/\hbar)

很容易求出 ψp′(p)=⟨p∣p′⟩=δ(p−p′)\psi_{p'}(p)=\langle p|p'\rangle=\delta(p-p')
（动量表象下）。

Example 求一维线性谐振子在动量表象下的波函数.

Solution: 不妨直接把算符迁移到动量表象中, 即
p^=p,x^=iℏ∂x\hat p=p,\hat x=i\hbar\partial_x. 这样定态方程写作

[−12μω2ℏ2d2dp2+p22μ]ϕ(p)=Eϕ(p)\left[-\frac{1}{2}\mu\omega^2\hbar^2\frac{d^2}{dp^2}+\frac{p^2}{2\mu}\right]\phi(p)=E\phi(p)

我想把这个方程变成我熟悉的形式:

[−ℏ22μd2dx2+12μω2x2]ψ(x)=Eψ(x)\left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}\mu\omega^2x^2\right]\psi(x)=E\psi(x)

凑一下,

p22μ=12μω2x21μω2x2p2μ=12μω2(pμω)2\begin{align*} \frac{p^2}{2\mu}&=\frac{1}{2}\mu\omega^2x^2\frac{1}{\mu\omega^2x^2}\frac{p^2}{\mu}\\ &=\frac{1}{2}\mu\omega^2\left(\frac{p }{\mu\omega}\right)^2 \end{align*}

所以不妨作变换,p→y=p/μω\displaystyle p\to y=p/\mu\omega,
这样

ddp=dydpddy=1μωddyd2dp2=1μ2ω2d2dy2\begin{align*} \frac{d}{dp}&=\frac{dy}{dp}\frac{d}{dy}=\frac{1}{\mu\omega}\frac{d}{dy}\\ \frac{d^2}{dp^2}&=\frac{1}{\mu^2\omega^2}\frac{d^2}{dy^2}\\ \end{align*}

所以动量表象下的本征方程变成了

[−ℏ22μ∂y2+12μω2y2]ϕ(p)=Eϕ(p)\left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\partial_y^2+\frac{1}{2}\mu\omega^2y^2\right]\phi(p)=E\phi(p)

这样就可以解出来了.

算符在不同表象中的形式

以最基础的两个算符 x^,p^\hat x,\hat p 为例。已知在坐标表象中 x^≐x,p^≐−iℏ∇\hat x\doteq x,\hat p\doteq-i\hbar\nabla .

一个算符 F^\hat F 作 ∣α⟩|\alpha\rangle 上，
便是 F^∣α⟩\hat F|\alpha\rangle. 如果我想求 F^\hat F 在动量表象下的
形式, 我应该让算符作用于 动量表象下的波函数 ⟨p∣α⟩\langle p|\alpha\rangle.
算符也应该写成动量表象下的形式 ⟨p∣F^∣p′⟩\langle p|\hat F|p'\rangle.
所以 F^∣α⟩\hat F|\alpha\rangle 在动量表象下的形式是
⟨p∣F^∣p′⟩⟨p′∣α⟩\langle p|\hat F|p'\rangle\langle p'|\alpha\rangle.
但这仅是矩阵元相乘的形式. 完整的形式应该是
∫dp′⟨p∣F^∣p′⟩⟨p′∣α⟩\int dp'\langle p|\hat F|p'\rangle\langle p'|\alpha\rangle.

⟨p∣x^∣α⟩=∫dp′⟨p∣x^∣p′⟩⟨p′∣α⟩=∫dp′∫dx′∫dx′′⟨p∣x′⟩⟨x′∣x^∣x′′⟩⟨x′′∣p′⟩⟨p′∣α⟩=∫dp′∫dx′∫dx′′⟨p∣x′⟩x′δ(x′−x′′)⟨x′′∣p′⟩⟨p′∣α⟩=∫dp′∫dx′⟨p∣x′⟩x′⟨x′∣p′⟩⟨p′∣α⟩=∫dp′∫dx′x′2πℏexp⁡[i(p′ℏx′−pℏx′)]⟨p′∣α⟩=∫dp′∫dx′12πℏ(iℏ∂∂p)exp⁡[i(p′ℏx′−pℏx′)]⟨p′∣α⟩=12πℏ(iℏ∂p)∫dp′∫dx′exp⁡[i(p′ℏx′−pℏx′)]⟨p′∣α⟩=iℏ∂∂p∫dp′δ(p′−p)⟨p′∣α⟩=iℏ∂∂pψα(p)\begin{align*} \langle p | \hat x|\alpha\rangle &=\int dp'\langle p|\hat x|p'\rangle\langle p'|\alpha\rangle \\ &=\int dp'\int dx'\int dx''\langle p|x'\rangle\langle x'|\hat x|x''\rangle \langle x''|p'\rangle \langle p'|\alpha\rangle \\ &=\int dp'\int dx'\int dx'' \langle p|x'\rangle x'\delta(x'-x'')\langle x''|p'\rangle \langle p'|\alpha\rangle \\ &= \int dp'\int dx' \langle p|x'\rangle x'\langle x'|p'\rangle \langle p'|\alpha\rangle \\ &=\int dp'\int dx' \frac{x'}{2\pi\hbar}\exp\left[ i\left(\frac{p'}{\hbar}x'-\frac{p}{\hbar}x'\right)\right]\langle p'|\alpha\rangle \\ &=\int dp'\int dx' \frac{1}{2\pi\hbar}\left(i\hbar\frac{ \partial }{ \partial p } \right)\exp\left[ i\left(\frac{p'}{\hbar}x'-\frac{p}{\hbar}x'\right)\right]\langle p'|\alpha\rangle \\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}(i\hbar\partial_p)\int dp'\int dx'\exp\left[ i\left(\frac{p'}{\hbar}x'-\frac{p}{\hbar}x'\right)\right]\langle p'|\alpha\rangle \\ &= i\hbar \frac{ \partial }{ \partial p } \int dp'\delta(p'-p) \langle p' |\alpha\rangle \\ &= i\hbar\frac{ \partial }{ \partial p } \psi_{\alpha}(p) \end{align*}

因此在动量表象下 x^≐iℏ∂p\hat x\doteq i\hbar\partial_p

同理，
p^\hat p 在 p^\hat p 表象下的形式为 ⟨p∣p^∣α⟩=p⟨p∣α⟩=pψα(p)\langle p|\hat p|\alpha\rangle=p\langle p|\alpha\rangle=p\psi_{\alpha}(p) .
所以在动量表象下 p^≐p\hat p\doteq p

注意, 需要区别算符 F^∣a⟩\hat F|a\rangle 与算符的表示 F^(r,p)ψ(r)\hat F(r,p)\psi(r).
可以这样理解: 算符是直接作用在右矢上的, 而
算符在某表象下的表示是作用在波函数上的
比如, 坐标表象下的算符就是作用在坐标表象下的波函数上的:

F^(r,−iℏ∇)⟨x∣α⟩\hat F(\bm r, -i\hbar\nabla)\langle x|\alpha\rangle

所以, 上面采取樱井的约定:
x^≐iℏ∂p\hat x\color{red}{\doteq}\color{black} i\hbar\partial_p,
这个 ≐\doteq 表示的是 “右边是左边的一种表达方式”
的意思. 同样地, 算符跟算符在某表象下的表示也不是
完全等价的两个概念.