这里面就是一些考试的时候可能有点用的东西罢.

简单塞曼效应

塞曼效应是由于电子的自旋引起的. 对于类氢原子, 考虑自旋角动量 (但是忽略自旋-轨道耦合), 于是总的哈密顿算符就是

H=−ℏ22μ∇2+U(r)−B⋅(−e2μL−eμS)=−ℏ22μ∇2+U(r)+eB2μ(Lz+2Sz)\begin{align} H&=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+U(r)-\bm B\cdot\left( -\frac{e}{2\mu}\bm L-\frac{e}{\mu}\bm S\right)\\ &=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+U(r)+\frac{eB}{2\mu}(L_z+2S_z) \end{align}

这样, 总的波函数就应该是

ψnlmlχms(sz)≐∣n,l,ml,ms⟩\psi_{nlm_l}\chi_{m_s}(s_z)\doteq|n,l,m_l,m_s\rangle

狄拉克括号是个筐, 好量子数往里装.

本征方程就写成

H∣n,l,ml,ms⟩=[Enl+(ml+2ms)ℏ]∣n,l,ml,ms⟩H|n,l,m_l,m_s\rangle=\left[E_{nl}+(m_l+2m_s)\hbar\right] |n,l,m_l,m_s\rangle

根据原子偶极跃迁的选择定则, Δml=0,±1,Δms=0\Delta m_l=0,\pm1,\Delta m_s=0.因此两个能级之间的跃迁频率就是

1ℏΔE=En′l−Enlℏ+Δml\frac{1}{\hbar}\Delta E=\frac{E_{n'l} - E_{nl}}{\hbar}+\Delta m_l

故而, 谱线分裂成 3 条. 至于能级的分裂, 就看 ml±1m_l\pm1 的所有可能取值.

原子偶极跃迁的选择定则

采用偶极近似, 并应用简谐微扰论, 可以知道原子偶极跃迁的跃迁速率为

Wk→n=2πℏ∣Fnk∣2δ(ϵn±ϵk−ℏω)W_{k\to n}=\frac{2\pi}{\hbar}|F_{nk}|^2\delta(\epsilon_n\pm\epsilon_k-\hbar\omega)

其中, H^=F^/2,H^=F^(eiωt+e−iωt)\hat H=\hat F/2,\hat H=\hat F(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}). 所以, 此跃迁速率不为零的条件就是 Fnk≠0F_{nk}\neq0. 而在 stimulated emmision 的条件下, H^=−er⋅E0cos⁡ωt\hat H=-e \bm r\cdot \bm E_0\cos\omega t, 所以跃迁速率不为零的条件为 rnk≠0r_{nk}\neq 0. 这就可以引出偶极跃迁的选择定则.

氢原子的Stark效应

氢原子的Stark效应是指氢原子在外电场作用下的能级分裂现象. 此现象与塞曼效应类似, 但是比塞曼效应要弱. 讨论 Stark 效应需要用到微扰方法.

推导氢原子的方程

氢原子核和电子两个粒子的体系的总哈密顿算符可以利用约化质量简单写作

−ℏ22M∇Rc2−ℏ22μ∇2+V(r)=H^-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{R_c}^2-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r)=\hat H

其中

μ=m1m2m1+m2Rc=m1r1+m2r2m1+m2M=m1+m2\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\\ \bm R_c=\frac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2}\\ M=m_1+m_2\\

这样, 第一项 −ℏ22M∇Rc2\displaystyle{-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{R_c}^2} 的解就是一个自由粒子的波函数 ψ1=Aexp⁡(iP⋅Rc/ℏ)\psi_1=A\exp(i\bm P\cdot\bm R_c/\hbar). 第二项和第三项便可以写作

[−ℏ22μ∇2+V]ψ2(r)=Eψ2(r)\left[\frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V\right]\psi_2(r)=E\psi_2(r)

注意到在球座标系中,

∇2=1r∂r2r−L2ℏ2r2⇒H=−ℏ22μ1r∂r2r+L22μr2+V(r)\nabla^2=\frac{1}{r}\partial_r^2r -\frac{L^2}{\hbar^2 r^2}\\ \Rightarrow H=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{1}{r}\partial_r^2r+\frac{L^2}{2\mu r^2}+V(r)

这里, L22μr2+V(r)\displaystyle \frac{L^2}{2\mu r^2}+V(r) 是> 离心势. 跟经典力学里面的离心势是一样的.

利用分离变量法, 可以得到 RnlYlmR_{nl}Y_{lm} 是一个试解. 如此便得到

[d2dr2−l(l+1)r2+2μ(E−V)ℏ2](rRnl)=0\left[\frac{d^2}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}+\frac{2\mu (E-V)}{\hbar^2}\right](rR_{nl})=0

这便是氢原子的径向方程.

标准球Bessel方程

[d2dr2−l(l+1)r2+k2]R=0\left[\frac{d^2}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}+k^2\right]R=0

其解为

R=AJl(kr)+BNl(kr)R=A J_l(kr)+ BN_l(kr)

其中, J,NJ,N 分别是Bessel和诺伊曼多项式. 由于 lim⁡r→0N(kr)=∞\lim_{r\to0}N(kr)=\infty, 因此其解就是 R=AJl(kr)R=AJ_l(kr). 找出它在零边界条件时的零点, 便可以根据k2=2μEℏ2\displaystyle k^2=\frac{2\mu E}{\hbar^2} 求出能级 EnlE_{nl}.

附加简并

附加简并是指由于库伦势的高度对称性所引起的能级对 l,ml,m 均简并的现象. 对于非库伦势, 如碱金属原子, 能级仅仅对 mm 简并. 库伦势能下的粒子不仅仅角动量守恒, 而且还有 隆格-楞次守恒.

常用物理量记忆

关于氢原子的结论:

  • 氢原子的能级: En=−μes42n2ℏ2=−es22n2a0\displaystyle E_n=-\frac{\mu e_s^4}{2n^2\hbar^2}=-\frac{e_s^2}{2n^2a_0}.
  • 玻尔半径 a0=ℏ2μes2\displaystyle a_0=\frac{\hbar^2}{\mu e_s^2}.

利用量子化通则和向心力公式等等, 得到如下"凑"的过程:

μv2r=es2r2⇒μv2=es2rμvr=nℏ(quantization principle)⇒r=n2ℏ2μes2=n2a0⇒En=12μv2=es22n2a0=μes42n2ℏ2\begin{align*} \frac{\mu v^2}{r}&=\frac{e_s^2}{r^2}\Rightarrow\mu v^2=\frac{e_s^2}{r}\\ \mu vr&=n\hbar \quad \text{(quantization principle)}\\ \Rightarrow r&=\color{green}{n^2\frac{\hbar^2}{\mu e_s^2}=n^2a_0}\\ \Rightarrow E_n&=\frac{1}{2}\mu v^2=\color{green}{\frac{e_s^2}{2n^2a_0}}\\ &=\color{green}{\frac{\mu e_s^4}{2n^2\hbar^2}} \end{align*}

关于无线深势阱的物理量

  • 无线深势阱的能级 En=n2π2ℏ22μa2\displaystyle E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu a^2} 其中 aa 是势阱的宽度. 记忆方法: E=(ℏk)2/(2μ)\displaystyle E=(\hbar k)^2/(2\mu). 无线深势阱的边界条件是驻波边界条件, 即 nλ2=a\displaystyle n\frac{\lambda}{2}=a. 因此 k=2πλ=nπa\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{n\pi}{a}, 代入 EE的表达式便得到最终结果.

其他常用物理量

  • 精细结构常数. 首先要知道 a0=α−1λca_0=\alpha^{-1}\lambda_c, 电子经典半径 rc=αλcr_c=\alpha\lambda_c.
    而 λc=ℏp\displaystyle \lambda_c=\frac{\hbar}{p}, 所以可以解出 α=es2ℏc\displaystyle\alpha=\frac{e_s^2}{\hbar c}.
  • 进一步, 电子的经典半径就是 rc=es2μc2\displaystyle r_c=\frac{e_s^2}{\mu c^2}.