全同粒子体系与多粒子体系

全同性原理

全同粒子是所有内禀性质 (电荷/质量/自旋) 完全相同的粒子们. 在经典力学中, 全同粒子是可以分辨的; 但是在量子力学中, 当全同粒子的波函数重叠时, 两个全同粒子是不可区分的.

全同性原理: 交换两个全同粒子不会改变全同粒子体系的状态. 这就表明描述全同粒子体系的波函数必须是对称或者反对称函数. 并且这个对称性是不随时间改变的. 由全同性原理可以直接引出 Pauli 不相容原理 (不能有 2 个或以上的费米子处在完全相同的状态.) 此外也可以引出"交换简并"的概念, 即交换两个全同粒子不会改变能级.

两电子体系的自旋波函数

当两个电子的相互作用可以忽略时, 这个两电子体系的自旋波函数可以写成χms(1)χms(2)\chi_{m_s}(1)\chi_{m_s}(2) 的形式. 这里数字 1 和 2 指示自旋波函数是属于哪个电子的. 由于 ms=±1/2m_s=\pm 1/2, 故两电子体系的相互作用波函数可以有 4 个相互独立的. 通常构造如下的四个对称 (Symmetrical) 和反对称 (Asymmetrical) 波函数:

∣1,−1⟩=χ−1/2(1)χ−1/2∣1,0⟩=12[χ−1/2(1)χ1/2(2)+χ−1/2(2)χ1/2(2)]∣1,1⟩=χ1/2(1)χ1/2(2)∣0,0⟩=12[χ−1/2(1)χ1/2(2)−χ−1/2(2)χ1/2(1)]\begin{align} |1,-1\rangle &=\chi_{-1/2}(1)\chi_{-1/2}\\ |1,0\rangle &=\frac{1}{2}\left[\chi_{-1/2}(1)\chi_{1/2}(2)+\chi_{-1/2}(2)\chi_{1/2}(2)\right]\\ |1,1\rangle &=\chi_{1/2}(1)\chi_{1/2}(2)\\ |0,0\rangle &=\frac{1}{2}\left[\chi_{-1/2}(1)\chi_{1/2}(2)-\chi_{-1/2}(2)\chi_{1/2}(1)\right] \end{align}

这里狄拉克符号里面的数字含义是: ∣S,sz⟩|S,s_z\rangle. 这是因为S^2∣S,sz⟩=s(s+1)∣S,sz⟩\hat S^2|S,s_z\rangle=s(s+1)|S,s_z\rangle, S^z∣S,sz⟩=sz∣S,sz⟩\hat S_z|S,s_z\rangle=s_z|S,s_z\rangle. 其中 S^2,S^z\hat S^2,\hat S_z 分别是总角动量平方算符和总角动量算符的 z 方向投影算符. SS 是总角量子数, szs_z 是总磁量子数.

能写成两个电子各自的自旋波函数的乘积的原因是, 总的自旋角动量算符> 是两个电子各自的自旋角动量算符之和 (回想一下分离变量法).

全同粒子体系的波函数

前面提到, 全同粒子体系的波函数是对称的或者反对称的. 实验证明, 自旋为整数的粒子是玻色子, 可以多个处在同一个状态上; 自旋为半整数的粒子是费米子, 两个费米子不能处在完全相同的状态上. 玻色子体系的波函数 Ψ(r1,s1;⋯ ;rn,sn)\Psi(\bm r_1,s_1;\cdots;\bm r_n,s_n) 是对称波函数, 而费米子的波函数是反对称波函数.

定义广义坐标 qi≡(ri,si)q_i\equiv(\bm r_i,s_i), 那么全同粒子体系的波函数 可以写成 Ψ(q1,⋯ ,qn)\Psi(q_1,\cdots,q_n). 这样, 交换对称/反对称性就可以写成 Ψ(q1,q2)=±Ψ(q2,q1)\Psi(q_1,q_2)=\pm\Psi(q_2,q_1)(是正号说明是对称的, 是玻色子; 是符号说明是反对称的, 是费米子).

如果电子的自旋-轨道相互作用可以忽略, 那么体系的总波函数可以写成Ψ=ϕ(r1,⋯ ,rn)χms(s1,⋯ ,sn)\Psi=\phi(\bm r_1,\cdots,\bm r_n)\chi_{m_s}(s_1,\cdots,s_n) 的形式. 其中 ϕ(r1,⋯ ,rn)\phi(\bm r_1,\cdots,\bm r_n) 是波函数的空间部分. χ\chi 是波函数的自旋部分.

前面提到, 这个波函数需要满足对称/反对称的性质, 因此ϕ(r1,⋯ ,rn)\phi(\bm r_1,\cdots,\bm r_n) 需要是对称的或者反对称的,χ(s1z,⋯ ,snz)\chi(s_{1z},\cdots,s_{nz}) 也需要是对称/反对称的. 所以 χ\chi 可以直接取前面构造出来的自旋三重态(对称)和自旋单态 (反对称) 的自旋函数. 这样, 两个函数相乘就可以构造出对称/反对称的波函数. 比如
ΨA=ϕSχA\Psi_A=\phi_S\chi_A. 这里 S,AS,A 分别代表对称与反对称的波函数.
循着这个思路, 便可以构造:

ΨA=ϕAχSorϕSχAΨS=ϕSχSϕAχA\begin{align} \Psi_A&=\phi_A\chi_S\quad \rm or\quad \phi_S\chi_A\\ \Psi_S&=\phi_S\chi_S\quad \rm \quad \phi_A\chi_A\\ \end{align}

所以现在的任务就是构造对称/反对称的空间部分波函数 ϕS,ϕA\phi_S,\phi_A.

对于 N 个粒子的玻色子体系, 很容易构造波函数:

ϕS(q1,⋯ ,qN)=∑Pϕn1(q1)ϕn1(q2)⏡f1⋯ϕnk(qm)ϕnk(qm+1)⏡fk⋯ϕnl(qN)⏡fl\phi_S(q_1,\cdots,q_N)=\sum_{P}\undergroup{\phi_{n_1}(q_1)\phi_{n_1}(q_2)}_{f_1}\cdots\undergroup{\phi_{n_k}(q_m)\phi_{n_k}(q_{m+1})}_{f_k}\cdots\undergroup{\phi_{n_l}(q_N)}_{f_l}

这里 ϕn1(q1)\phi_{n_1}(q_1) 是第 11 个粒子处在 n1n_1能级的空间部分波函数 (本征函数). 并且 fif_i 表示处在第 nin_i 个能级的粒子数量. ∑P\sum_P 表示对所有可能的排列求和. 这个波函数是没有归一化的, 容易算得
总共有

A=N!∏i(fi!)A=\frac{N!}{\prod_{i}(f_i!)}

种可能的排列组合. 也就是说 ϕ\phi 总共有 这么多项. 因此归一化系数应当是 A−1/2A^{-1/2}.

而对于 N 粒子的费米子体系, 相应的波函数有 Slater 公式给出:

ϕA(q1,⋯ ,qn)=1N!∣ϕn1(q1)ϕn1(q2)⋯ϕn1(qN)ϕn2(q1)⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋮ϕnN(q1)⋯⋯ϕnN(qN)∣\phi_A(q_1,\cdots,q_n)=\frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \phi_{n_1}(q_1)&\phi_{n_1}(q_2)&\cdots&\phi_{n_1}(q_N)\\ \phi_{n_2}(q_1)&\cdots&\cdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \phi_{n_N}(q_1)&\cdots&\cdots&\phi_{n_N}(q_N) \end{vmatrix}

行列式的性质告诉我们, 不能有两个粒子处在同一个态 (n1=n2n_1=n_2). 否则反对称波函数就是 0. 这也正是 Pauli 不相容原理.

写到这里突然发现最初构造的"自旋波函数"仅仅是两个电子体系的. 那么多个电子体系的呢? 自然也可以用上面构造的方式 (排列组合/行列式)来构造.